Teorema de Bayes con una tabla: no te equivoques de fila
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: pasa del árbol a una tabla de contingencia con mil casos y deja de confundir P(A|B) con P(B|A).
Los problemas de Bayes suelen fallar en el último paso, no en el primero. El alumno dibuja bien el árbol, multiplica bien las ramas y, cuando el enunciado pregunta «sabiendo que ha llegado tarde, ¿qué probabilidad hay de que viva en Gandía?», contesta con el 5 % que ya venía en el enunciado. Ha calculado P(tarde | Gandía) cuando le pedían P(Gandía | tarde).
Para ese despiste hay un remedio sencillo: dejar de pensar en porcentajes y pensar en personas. Si conviertes el problema en una tabla de contingencia con mil casos, la pregunta condicionada se reduce a mirar una fila y dividir dos números que puedes señalar con el dedo.
Un ejemplo con números redondos
En un instituto, el 40 % del alumnado vive en Gandía y el 60 % en pueblos cercanos. Llega tarde a primera hora el 5 % de quienes viven en Gandía y el 15 % de quienes vienen de fuera. Elegimos al azar a un alumno que ha llegado tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en Gandía?
Imagina que el instituto tiene exactamente 1000 alumnos. Entonces 400 viven en Gandía y 600 fuera. De los 400, llegan tarde 20 (el 5 %); de los 600, llegan tarde 90 (el 15 %). Con eso ya puedes rellenar la tabla:
| Vive en Gandía | Vive fuera | Total | |
|---|---|---|---|
| Llega tarde | 20 | 90 | 110 |
| Llega puntual | 380 | 510 | 890 |
| Total | 400 | 600 | 1000 |
La condición «ha llegado tarde» te encierra en la primera fila: 110 alumnos. De ellos, 20 viven en Gandía. La respuesta es 20/110 = 2/11 ≈ 0,18. Fíjate en que el total de esa fila, 110 de 1000, es la probabilidad total de llegar tarde: P(T) = 0,11.
Qué estás haciendo en realidad
La tabla no sustituye al teorema; lo hace visible. Cada casilla interior es el producto de una rama del árbol: 1000 · 0,4 · 0,05 = 20. La suma de la fila es el teorema de la probabilidad total, y la división final es la fórmula de Bayes:
P(G | T) = P(G) · P(T | G) / P(T) = 0,4 · 0,05 / 0,11 = 0,02 / 0,11 ≈ 0,1818
Por eso conviene escribir las dos vías en el ejercicio. La tabla te dice qué dividir; la fórmula deja constancia del razonamiento con la notación de probabilidad. En M-Englobe pedimos ambas cosas: primero la tabla en sucio para no equivocarse de fila, y después la expresión con P(…) en limpio.
El método en cuatro pasos
- Elige una población cómoda. Mil casos funcionan casi siempre. Si algún producto sale con decimales (por ejemplo, un 2,5 % de un 30 %), sube a 10 000 o a 100 000.
- Coloca primero lo que no está condicionado. Los porcentajes del tipo «el 40 % vive en Gandía» van en la fila de totales.
- Reparte después lo condicionado. «El 5 % de los de Gandía llega tarde» se calcula sobre su columna, no sobre los 1000.
- Lee la pregunta y busca la palabra que restringe. «Sabiendo que», «si se sabe que» o «de entre los que» marcan el grupo por el que vas a dividir. Ese grupo es el denominador.
Los tres errores que más vemos
El primero ya ha salido: dar como respuesta el dato del enunciado porque «suena» a la pregunta. Si el resultado de un problema de Bayes coincide con uno de los porcentajes que te dieron, sospecha.
El segundo es dividir entre 1000 cuando la pregunta está condicionada. 20/1000 = 0,02 es la probabilidad de que un alumno cualquiera viva en Gandía y llegue tarde, una intersección. Responde a otra pregunta.
El tercero aparece al repartir: calcular el 15 % sobre el total en lugar de sobre la columna de los que viven fuera. La tabla te avisa sola, porque la suma de cada columna debe coincidir con su total. Si no cuadra, el error está en el reparto, y lo detectas antes de llegar a la división.
Prueba ahora
Una tienda online recibe el 70 % de sus pedidos del proveedor A y el 30 % del proveedor B. Llega defectuoso el 2 % de los pedidos de A y el 6 % de los de B.
- ¿Qué probabilidad hay de que un pedido llegue defectuoso?
- Un cliente recibe un pedido defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que venga del proveedor B?
- Si el pedido ha llegado bien, ¿qué probabilidad hay de que venga de A?
Intenta montar la tabla antes de leer la solución.
Solución
Con 1000 pedidos: A aporta 700, de los que 14 llegan defectuosos y 686 bien; B aporta 300, con 18 defectuosos y 282 bien. En total hay 32 defectuosos y 968 correctos.
- P(D) = 32/1000 = 0,032.
- P(B | D) = 18/32 = 0,5625. Aunque B sirve menos de un tercio de los pedidos, más de la mitad de los defectuosos son suyos: su tasa de fallos triplica la de A.
- P(A | no D) = 686/968 ≈ 0,7087. Aquí el denominador es la fila de los pedidos correctos, no la de los defectuosos.
Si el apartado b te ha salido 0,06 o 0,018, vuelve a la fila de los defectuosos: el primer número es P(D | B) y el segundo, la intersección.
De dónde viene este contenido
El currículo estatal de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II incluye, dentro del sentido estocástico, la probabilidad condicionada, los diagramas de árbol y tablas de contingencia y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes (Real Decreto 243/2022, texto consolidado en el BOE). Este método no depende del modelo de examen de un año concreto: sirve para cualquier problema de Bayes, en clase o en la prueba.
Si estás repasando el bloque de álgebra de la misma asignatura, te puede venir bien nuestra guía de programación lineal y región factible. Y si prefieres trabajar la probabilidad con ejercicios corregidos uno a uno, escríbenos y te contamos cómo preparamos Matemáticas CCSS en la academia.
Foto de portada: Photo by Chiara Guercio on Unsplash
