Análisis dimensional en Física PAU: detecta errores

Terminas un problema de Física, la calculadora da un número razonable y pasas al siguiente. Días después, en la corrección, descubres que la fórmula final tenía un cuadrado de más o una raíz al revés. Ese tipo de fallo se puede cazar en treinta segundos, sin repetir las cuentas, con una herramienta que casi nadie usa en el examen: el análisis dimensional.

La idea es simple. Toda ecuación física tiene que ser coherente en unidades. Si a un lado tienes una velocidad, al otro no puede salir una aceleración, por muy bonito que quede el resultado.

Qué comprueba exactamente el análisis dimensional

Cada magnitud se puede escribir en función de unas pocas dimensiones básicas. Para mecánica y gravitación te bastan tres: longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Con ellas construyes el resto:

velocidad: [v] = L·T⁻¹
aceleración: [a] = L·T⁻²
fuerza: [F] = M·L·T⁻² (por F = m·a)
energía y trabajo: [E] = M·L²·T⁻² (fuerza por distancia)

Los corchetes se leen «dimensiones de». La regla que vas a aplicar tiene dos partes. Primera: los dos miembros de una igualdad deben tener las mismas dimensiones. Segunda: solo puedes sumar o restar términos con las mismas dimensiones. No tiene sentido sumar metros y segundos, y la ecuación tampoco lo admite.

Un ejemplo con el péndulo simple

Supón que no recuerdas si el periodo del péndulo es T = 2π√(l/g) o 2π√(g/l). Comprueba la primera versión:

[l/g] = L / (L·T⁻²) = T², y la raíz cuadrada de T² es T. Sale un tiempo, que es lo que debe ser un periodo.

La segunda versión da √(T⁻²) = T⁻¹, que son las dimensiones de una frecuencia. Queda descartada. Fíjate en que el 2π no interviene: los números puros no tienen dimensiones.

El método en tres pasos para usarlo en el examen

1. Elige solo la expresión final

No revises cada línea. Toma la fórmula a la que has llegado antes de sustituir números, cuando todavía tienes letras. Es ahí donde el error se ve con claridad; con los datos ya sustituidos, las unidades se pierden.

2. Traduce cada símbolo a L, M y T

Escribe al margen las dimensiones de cada magnitud que aparece. Con las constantes conviene tener dos o tres memorizadas o saber deducirlas. Por ejemplo, de F = G·m₁·m₂/r² se obtiene [G] = M⁻¹·L³·T⁻², que coincide con su unidad, N·m²·kg⁻².

3. Simplifica y compara con lo que pide el enunciado

Si te piden una velocidad, el resultado tiene que quedar en L·T⁻¹. Si queda otra cosa, hay un error seguro en el desarrollo y sabes en qué fórmula buscarlo.

Un caso típico de gravitación: la velocidad de escape. Con v = √(2GM/R) obtienes [GM/R] = L³·T⁻²/L = L²·T⁻², y su raíz es L·T⁻¹. Correcto. Si por despiste escribes R² en el denominador, como en la ley de gravitación, te queda L^1/2·T⁻¹, que no es ninguna magnitud conocida.

Lo que el análisis dimensional no detecta

Conviene saber dónde se acaba la herramienta para no confiar de más en ella:

No ve los factores numéricos. Un ½ olvidado en la energía cinética o un 2π de menos pasan el control sin problema.
No ve los signos. Una energía potencial gravitatoria sin el signo negativo tiene las mismas dimensiones que la correcta.
No distingue magnitudes con iguales dimensiones, como trabajo y momento de una fuerza (ambos M·L²·T⁻²).

Sí te da una pista extra: el argumento de un seno, un coseno, una exponencial o un logaritmo tiene que ser adimensional. En x = A·sen(ωt + φ), el producto ωt no tiene dimensiones porque [ω] = T⁻¹. Si dentro del seno te aparece algo con metros, revisa.

Prueba ahora: ¿cuáles de estas expresiones son imposibles?

Comprueba las dimensiones de cada una antes de leer la solución.

Periodo de un oscilador masa-muelle: T = 2π√(k/m), con k en N/m.
Energía de un oscilador armónico: E = ½·k·A², con A la amplitud.
Posición en un MRUA: x = x₀ + v₀·t + a·t.
Fuerza entre dos cargas: F = K·q₁·q₂/r, con K en N·m²·C⁻².

Solución

Imposible. [k] = M·T⁻², así que [k/m] = T⁻² y su raíz da T⁻¹. La fórmula correcta es 2π√(m/k).
Correcta en dimensiones: M·T⁻²·L² = M·L²·T⁻², una energía.
Imposible. El último término, a·t, es L·T⁻¹ y no se puede sumar a una longitud. Falta el cuadrado del tiempo (y el ½, que el análisis no habría encontrado).
Imposible como fuerza. Las unidades dan N·m²·C⁻²·C²/m = N·m, es decir, una energía. Esa expresión corresponde a la energía potencial eléctrica; para la fuerza, la distancia va al cuadrado.

Si has acertado las cuatro, ya tienes el hábito. Si no, repite el ejercicio con las fórmulas de tu propio tema: es más útil que memorizar una lista de unidades.

Cuándo hacerlo y cuánto tiempo cuesta

En M-Englobe solemos trabajarlo como un paso fijo al cerrar cada apartado, igual que se subraya el resultado. Con práctica no lleva más de medio minuto por fórmula, y es justo el tipo de revisión que recoge el currículo de Física de 2.º de Bachillerato cuando pide «utilizar de manera rigurosa las unidades de las variables físicas» (Real Decreto 243/2022, BOE).

Combínalo con un buen planteamiento previo. Si el error está en el modelo, el análisis dimensional puede no verlo; por eso es útil empezar cada problema de dinámica con un diagrama de fuerzas bien hecho. Y si también preparas Química, el mismo hábito de arrastrar unidades te ayuda a identificar el reactivo limitante sin perderte entre moles y gramos.

Si quieres preparar Física de Bachillerato con clases que revisan tus problemas paso a paso, escríbenos y te contamos cómo organizamos el curso.

Foto de portada: Photo by Umar ben on Unsplash