En un problema de programación lineal, las cuentas suelen ser sencillas. Lo que cuesta es pasar de una historia sobre productos, horas o presupuesto a un dibujo que tenga sentido. Una desigualdad mal orientada cambia toda la región factible; un vértice olvidado puede cambiar la respuesta final.
La forma más segura de trabajar es separar dos tareas. Primero averiguas qué combinaciones cumplen todas las condiciones. Después comparas cuánto vale el objetivo en los puntos que delimitan esa zona. Un ejemplo pequeño permite ver el método sin esconderlo bajo demasiados cálculos.
Empieza por decidir qué representan x e y
Una asociación prepara dos tipos de lotes para una feria. El lote A necesita dos horas de montaje y una hora de empaquetado. El lote B necesita una hora de montaje y dos de empaquetado. Hay como máximo ocho horas disponibles para cada tarea. El beneficio previsto es de 30 euros por cada lote A y 40 por cada lote B.
Antes de escribir una sola desigualdad, fija las variables:
x = número de lotes A
y = número de lotes B
Los lotes no pueden ser negativos, así que ya tenemos x ≥ 0 e y ≥ 0. Las horas disponibles generan las otras dos restricciones:
Montaje: 2x + y ≤ 8
Empaquetado: x + 2y ≤ 8
La palabra "máximo" nos orienta hacia ≤. Aun así, conviene comprobar el significado: cualquier plan válido debe gastar ocho horas o menos en cada tarea. La función que queremos maximizar es B = 30x + 40y.
Dibuja primero las rectas frontera
Para representar 2x + y ≤ 8, empieza por su frontera: 2x + y = 8. Dos puntos bastan. Si x = 0, entonces y = 8; si y = 0, entonces x = 4. Marca (0, 8) y (4, 0) y únelos.
Haz lo mismo con x + 2y = 8. Sus cortes con los ejes son (0, 4) y (8, 0). No calcules la pendiente si los cortes ya te dan una recta limpia. El objetivo no es demostrar cuántas técnicas conoces, sino reducir oportunidades de error.
Ahora decide qué lado de cada recta cumple la desigualdad. El punto (0, 0) es una prueba rápida: al sustituirlo, ambas expresiones valen 0, que sí es menor o igual que 8. Por tanto, en los dos casos elegimos el semiplano que contiene el origen.
La región factible es la intersección, no una suma de zonas
Una combinación solo sirve si respeta todas las condiciones a la vez. Debe estar en el primer cuadrante y dentro de los dos semiplanos anteriores. La zona común tiene cuatro vértices: (0, 0), (4, 0), (0, 4) y el punto donde se cortan las dos rectas.
Para encontrar ese cruce, resuelve el sistema:
2x + y = 8
x + 2y = 8
Restando o sustituyendo obtenemos x = 8/3 e y = 8/3. Antes de seguir, comprueba el punto en las dos ecuaciones. Esa sustitución tarda unos segundos y detecta enseguida un signo cambiado o una división mal hecha.
Hay un detalle importante: aquí interpretamos los lotes como cantidades que podrían modelizarse de forma continua para aprender el procedimiento gráfico. Si el contexto exige unidades enteras, la respuesta final debe respetarlo y habría que comparar los puntos enteros admisibles cercanos. El dibujo orienta, pero el contexto manda.
Compara la función objetivo en cada vértice
En una región poligonal acotada, el siguiente paso práctico es evaluar la función objetivo en sus vértices. No elijas el punto que "parece más alto" en el gráfico: los coeficientes 30 y 40 no pesan igual.
En (0, 0): B = 0.
En (4, 0): B = 120.
En (0, 4): B = 160.
En (8/3, 8/3): B = 560/3, aproximadamente 186,67.
En el modelo continuo, el máximo aparece en la intersección de las dos restricciones. La respuesta completa no termina con una cifra. Hay que volver al enunciado: el plan sería producir 8/3 lotes de cada tipo y obtendría un beneficio de 560/3 euros dentro del modelo planteado. Como los lotes reales no suelen fraccionarse, revisaríamos después las combinaciones enteras factibles.
Pruébalo ahora con una comprobación corta
Supón que una tercera condición exige fabricar al menos dos lotes en total: x + y ≥ 2. Dibuja la recta x + y = 2 y prueba otra vez el origen. Como (0, 0) no cumple 0 ≥ 2, esta vez debes escoger el lado contrario. La nueva recta recorta la esquina inferior de la región, pero no elimina el punto (8/3, 8/3), porque su suma es 16/3.
Antes de dar un ejercicio por terminado, revisa cuatro cosas: las variables tienen unidad, el signo de cada desigualdad coincide con el enunciado, todos los vértices están calculados y la respuesta vuelve al contexto. Es una revisión breve y bastante más útil que repetir las operaciones sin un criterio concreto.
Por qué este procedimiento merece práctica
El currículo oficial de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II incluye la modelización de problemas reales mediante programación lineal y su resolución con herramientas digitales. El gráfico no sustituye el razonamiento: te ayuda a verlo. Puedes consultar el texto consolidado del Real Decreto 243/2022 en el BOE.
Si al pasar del enunciado al sistema aparecen dudas, en M-Englobe podemos ayudarte a practicar el planteamiento con ejercicios graduados. La meta es que cada recta tenga una razón y que puedas explicar por qué tu solución pertenece a la zona correcta.