Una función puede tener valores positivos y estar bajando. Parece una contradicción hasta que separas dos preguntas: dónde está la gráfica y hacia dónde se mueve al avanzar de izquierda a derecha. En Matemáticas II, confundirlas lleva a estudiar el crecimiento con el signo de la función, cuando lo que necesitas mirar es el signo de su derivada.
Para estudiar el crecimiento y decrecimiento con derivadas, vamos a trabajar con un polinomio. Así podemos concentrarnos en el razonamiento sin añadir discontinuidades ni restricciones de dominio. El mismo hábito te servirá después con funciones más complicadas, aunque entonces habrá que revisar también dónde están definidas y dónde son derivables.
La altura y la pendiente cuentan cosas diferentes
Piensa en f(x) = x³ − 3x + 5. Su derivada es f′(x) = 3x² − 3. En x = 0, la función vale 5: el punto está por encima del eje horizontal. Sin embargo, la derivada vale −3. La pendiente es negativa y la función está decreciendo alrededor de ese punto.
Una manera sencilla de recordar la diferencia es escribir al margen «altura» junto a f y «pendiente» junto a f′. Si te preguntan por crecimiento, mira la segunda. Que una curva esté por encima del eje no la obliga a subir.
El currículo de Bachillerato publicado en el BOE incluye en Matemáticas II el estudio de funciones mediante límites, continuidad y derivabilidad. Este ejercicio desarrolla esa base para preparar la materia; no describe el formato, la puntuación ni las opciones de una convocatoria concreta de la PAU.
Construye los intervalos antes de elegir los signos
Empezamos comprobando el dominio: nuestro polinomio está definido y es derivable para cualquier número real. Después igualamos su derivada a cero: 3x² − 3 = 0. Las soluciones son x = −1 y x = 1.
Esos dos valores dividen la recta en tres intervalos: (−∞, −1), (−1, 1) y (1, +∞). Ahora elegimos un número dentro de cada uno y lo sustituimos en la derivada, no en la función original.
En el primer intervalo probamos x = −2: f′(−2) = 9, positivo.
En el segundo probamos x = 0: f′(0) = −3, negativo.
En el tercero probamos x = 2: f′(2) = 9, positivo.
La conclusión es que f crece en (−∞, −1) y (1, +∞), y decrece en (−1, 1). Podemos usar una prueba por intervalo porque la derivada es continua y no tiene otros ceros allí: su signo no cambia dentro de cada tramo. Esa justificación importa más que dibujar una fila de signos por costumbre.
Un cero de la derivada es una pista, no un veredicto
Al atravesar x = −1, la derivada pasa de positiva a negativa: la función sube y después baja. Hay un máximo relativo. Al atravesar x = 1, pasa de negativa a positiva: baja y después sube. Hay un mínimo relativo.
Si necesitas las coordenadas, vuelve entonces a la función original. Obtienes f(−1) = 7 y f(1) = 3, de modo que los puntos son (−1, 7) y (1, 3). La derivada localiza y ayuda a clasificar; la función da la altura.
No escribas «máximo» solo porque f′ vale cero. En g(x) = x³ + 2, la derivada es g′(x) = 3x². Se anula en cero, pero es positiva a ambos lados. La función sigue creciendo y ese punto no es un máximo ni un mínimo.
Prueba a corregir esta respuesta
Un estudiante escribe: «Como f(0) = 5 es positivo, f crece entre −1 y 1». ¿Qué dato ha usado mal? Corrige la frase antes de leer la solución.
La respuesta correcta es: «En (−1, 1), f′(x) = 3x² − 3 es negativa; por tanto, f decrece en ese intervalo». El valor f(0) informa de la altura de un punto, no del crecimiento. Para comprobar el resultado con números, observa que f(−1) = 7, f(0) = 5 y f(1) = 3. Esa comparación ilustra lo que ocurre, aunque la justificación del intervalo completo viene del signo de la derivada.
En tu próximo ejercicio, deja visible qué expresión estás estudiando en cada paso. Una línea con el dominio, otra con los ceros de f′ y una conclusión escrita con intervalos bastan para detectar muchas confusiones antes de entregar.
Si necesitas trabajar este razonamiento en la preparación de Matemáticas II, puedes consultarnos sobre el apoyo de PAU en M-Englobe.